[회로이론] Part1_직류회로) Chap8_이차 회로

8.1 서론

위 장에서는 2개의 에너지 저장소자를 포함하는 회로에 대해 살펴볼 것이다. 이러한 회로들은 그 응답을 기술하는 미분방정식이 이차 미분항을 포함하기 때문에 이차 회로로 알려져 있다.
이차 회로의 전형적인 예로는 세 종류의 수동소자로 구성된 RLC 회로가 있다. 다른 예로는 세 종류의 수동소자로 구성된 RL 회로와 RC 회로가 있다.

RLC 회로

이차 RL, RC 회로

 

이차 회로는 이차 미분방정식에 의해 그 특성이 기술된다. 이것은 저항과 등가적인 에너지 저장소자 2개로 구성된다.

8.2 초깃값과 최종값 결정

이차 회로 해석에서 가장 큰 문제는 회로 변수의 초기 조건과 최종상태를 구하는 것이다. v와 i의 초깃값과 최종값은 쉽게 찾지만 도함수의 초깃값과 최종값(dv/dt & di/dt)을 찾는 데는 어려움을 느낀다. 그래서 이번 장은 v와 i의 초깃값, 최종값, 도함수의 초깃값, 최종값을 찾는 것을 중점으로 할 것이다.

초기 조건을 결정하는 데 유의해야할 점

1. 회로 해석에서 커패시터 양단에 걸리는 전압 v(t)의 극성과 인덕터에 흐르는 전류 i(t) 방향에 유의한다.

2. 커패시터 전압은 항상 연속성이 있으므로 v(0+) = v(0-)이고 인덕터 전류도 항상 연속성이 있으므로 i(0+) = i(0-)이다.

예제 8.1

그림의 회로에서 스위치가 오랫동안 닫혀 있었다. t=0에서 스위치를 열었을 때 (a) i(0+), v(0+); (b) di(0+)/dt, dv(0+)/dt; (c) i(∞), v(∞)를 구하라.

8.3 무전원 직렬 RLC 회로

무전원 직렬 RLC 회로

무전원 직렬 RLC 회로의 해석

직렬 RLC 회로는 커패시터와 인덕터의 초기 저장된 에너지에 의해 구동된다. 저장된 에너지를 인덕터의 초기 전류 I0와 커패시터의 초기 전압 V0로 표현한다.

루프에 KVL을 적용하면

적분항을 제거하기 위해 t에 대해 미분하고 항을 정리하면

이것은 이차 미분방정식이며, RLC 회로를 이차 회로라 부르는 이유이다.

커패시터의 초기 전압을 통하여 위 식을 또는

일차 회로에 대한 해석으로부터 결과는 지수 형태로 나타난다는 것을 알 수 있다.(사실 이차 미분방정식을 푸는 법을 안다면 더 쉽고 같은 결과를 낼 수 있다.) A와 s는 미지의 상수이다. 우리가 해석해야 할 식에 대입하고 미분하면 다음 결과를 얻을 수 있다. 또는

이는 회로 해석을 위해 가정한 전류 해이므로 괄호 안의 식을 0으로 한다.

근의 공식을 사용하여 s1과 s2를 구할 수 있다. 또한 이 이차 방정식은 근이 i의 특성을 나타내므로 특성방정식이라 일컫는다. 근의 표현을 더 간략화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ★여기서 α는 감쇠 계수(or 네퍼주파수), ω0는 공진 주파수(Resonant frequency)(or 부족제동상태의 고유주파수)라 한다.★

s의 값이 2개임을 보아 i에 대해 가능한 해가 두 가지 있음을 의미한다. i를 가정하면 i는 선형 합성을 통해 구할 수 있다. 직렬 RLC 회로의 자연응답은 이후의 A와 s의 값들은 초깃값을 통해 결정된다.

★이제부터 설명할 내용은 내가 생각하기에 이차 회로에서 중요한 부분 중 하나라고 생각한다.★
직렬 RLC 회로의 자연응답에서 α와 ω0의 값에 따라 3가지 형태의 해가 있다.
1. α > ω0일 때 응답은 과제동이다.
2. α = ω0일 때 응답은 임계제동이다.
3. α < ω0일 때 응답은 부족제동이다.

과제동(α > ω0)

과제동은 전형적인 RLC 회로의 자연응답이다.

임계제동(α = ω0)

임계제동일 때에는 s1 = s2 = -α = -R/2L 이러한 경우 그치만 두 초기 조건은 하나의 상수 A3로 충족될 수 없다.

위 식으로 돌아와서 α = ω0 = R/2L을 이용하여 다음과 같은 식을 도출할 수 있다. 또는

다음과 같이 치환하면, 위와 같이 된다.

치환한 식을 다시 보자면 f = A1e^-αt를 가진 일차 방정식으므로 또는 이는 다음과 같이 다시 적을 수 있다. 양변을 적분하면 또는 A2는 또 다른 상수이다. 임계제동 회로의 고유응답은 두 항의 합이 된다. 음의 지수함수와 선형항을 곱한 음의 지수함수이다.

직렬 RLC 회로의 임계제동 고유응답

부족제동(α < ω0)

α < ω0일 때 C < 4L/R^2이다. 여기서 ωd^2 = ω0^2 - α^2이고 감쇠주파수라고 불린다. ω0는 자연응답을 결정하는 데 도움을 주기 때문에 무감쇠 고유주파수라 부르고 ωd는 감쇠 고유주파수라 부른다.

고유응답은 아래 식처럼 되고 위를 오일러의 정리를 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

A1과 A2는 상수이므로 B1 = A1 + A2, B2 = j(A1 - A2)로 치환하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

예제 8.4

그림의 회로에서 i(t)를 구하라. t = 0-에서 회로가 정상상태라고 가정한다.

8.4 무전원 병렬 RLC 회로

무전원 병렬 RLC 회로

무전원 병렬 RLC 회로의 해석

초기 인덕터 전류를 I0, 초기 커패시터 전류를 V0라고 가정하자.

3개의 소자가 병렬로 연결되어 있으므로 모두 동일한 전압 v가 양단에 걸린다. 회로 상단에 KCL을 적용하면 t에 대해 미분하고 C로 나누면

이차 미분은 s^2로, 일차 미분은 s로 치환함으로써 특성방정식을 얻을 수 있다. 특성방정식의 근은 아래식 또는 과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 위와 같이 정리할 수 있다.

과제동(α > ω0)

α > ω0일 때, L>4R^2C이다. 특성방정식의 근은 음의 실수이며 응답은 아래 식과 같다.

임계제동(α = ω0)

α = ω0일 때 L = 4R^2C이다. 근은 실수이고 동일한 값을 가지므로 응답은 아래와 같다.

부족제동(α < ω0)

α < ω0일 때, L < 4R^2C이다. 이 경우 근은 복소수이고 다음과 같이 표현된다.

여기서 ωd는 아래와 같이 표현된다.

응답은 아래 식과 같다.

예제 8.6

그림의 RLC 회로에서 t > 0일 때 v(t)를 구하라

8.5 직렬 RLC 회로의 계단응답

계단응답을 인가하는 직렬 RLC 회로

 

직렬 RLC 회로의 계단응답 해석

계단응답은 직류 전원의 갑작스러운 공급에 대한 반응이다. 회로에 t > 0일 때 KVL을 적용하면 아래 식을 얻을 수 있다. 그리고 전류는 다음과 같이 표현할 수 있다.

전류를 대입하고 식을 정리하면 아래와 같다.

전에 무전원 RLC 회로의 해석을 보면 우측 항이 0인 것만 제외하고는 형태가 같은 것을 알 수 있다. 이를 좀 더 명확하게 말하자면 계수는 같고(주파수 파라미터를 결정하는 데 중요하다) 변수는 다르다. 이를 통해 알 수 있는 사실은 직렬 RLC 회로의 특성방정식은 직류 전원의 존재에 따른 영향을 받지 않는다는 것을 알 수 있다. 위 식에는 두 가지 요소, 과도응답 Vt(t)와 정상상태 응답 Vss(t)가 있다. 즉 과도응답의 형태는 무전원 회로의 해와 같다. 그러므로 과도응답 Vt(t)의 과제동, 부족제동, 임계제동은 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다. 과제동 임계제동 부족제동

정상상태 응답은 v(t)의 최종값이다. 회로에서 커패시터 전압의 최종값은 전원 전압 Vs와 같다. 그러므로

과제동, 임계제동, 부족제동의 경우에 대한 완전해는 아래와 같이 정리할 수 있다.

예제 8.7

그림의 회로에서 t > 0일 때 v(t)와 i(t)를 구하라. R=5&Omega;, R=4&Omega;, R=1&Omega;인 경우를 고려하라

8.6 병렬 RLC 회로의 계단응답

전류원을 가진 병렬 RLC 회로

병렬 RLC 회로의 계단응답 해석

t > 0일 때 회로의 위쪽 노드에 KCL을 적용하면 아래 식을 얻을 수 있다. 그리고 전압은 다음과 같이 표현할 수 있다.

전압을 대입하고 식을 정리하면 아래와 같다.

위 식을 보면 직렬 RLC 회로의 계단응답 해석과 같은 형태의 식이란 것을 알 수 있다. 완전한 해는 과도응답 it(t)와 정상상태 응답 iss(t)로 이루어진다. 즉

과제동, 임계제동, 부족제동의 경우에 대한 완전해는 아래와 같이 정리할 수 있다.

예제 8.8