[회로이론] Part2_교류회로) Chap10_정현파의 정상상태 해석

10.1 서론

9장에서 배운 페이저를 사용해 위 10장에서는 노드 해석, 메시 해석, 테브냉의 정리, 노턴의 정리, 중첩의 정리, 전원 변환 등이 교류회로를 해석하는 데 어떻게 적용되는 지를 살펴볼 것이다.

교류회로를 해석하는 단계

1. 회로를 페이저나 주파수 영역으로 변환한다.

2. 노드 해석, 메시 해석, 중첩 정리 등의 회로 해석법으로 문제를 푼다.

3. 해석 결과인 페이저를 시간 영역으로 변환한다.

10.2 노드 해석

노드 해석의 기본은 키르히호프의 전류 법칙이다. KCL이 페이저에도 유효하기 때문에 노드 해석으로 교류회로를 해석할 수 있다.

교류회로 노드 해석

아래 예제를 통해 살펴볼 것이다. 문제: ix를 구하라

주파수 영역으로 회로를 변환하면 다음과 같다. (위 그림의 Ω은 전부 ω로 바꿔야됨. 책 오류인 듯)

변환된 회로는 다음과 같다.

노드 1에 KCL을 적용하면 또는

노드 2에 KCL을 적용하면 다음과 같다. Ix = V1 / -j2.5이므로 위 식에 이를 대입하면 다음과 같고 이를 간략화하면 다음을 얻는다.

위 두 식을 다음과 같은 행렬식으로 표현할 수 있다. 이 행렬식을 계산하면 아래와 같다.

전류 Ix는 다음과 같고 이를 시간 영역으로 변환하면 ix는 다음과 같다.

10.3 메시 해석

메시 해석의 기본은 키르히호프의 전압 법칙이다. KVL이 페이저에도 유효하기 때문에 노드 해석으로 교류회로를 해석할 수 있다. 그리고 메시 해석을 사용하는 본질은 이것이 평면회로에 적용 가능하기 때문이다.

교류회로 메시 해석

아래 예제를 통해 살펴볼 것이다. 문제: I0를 구하라

메시 1에 KVL을 적용하면 다음과 같다.

메시 2에 KVL을 적용하면 다음과 같다.

메시 3에서는 I3 = 5를 얻을 수 있다. 이것을 위 두 식에 대입하면 다음 식을 얻는다.

이를 행렬식으로 표현하면 다음과 같다. 이 행렬식을 계산하면 아래와 같다.

따라서 구해야하는 I0는 다음과 같다.

10.4 중첩의 원리

교류회로는 선형적이기 때문에 직류회로와 같이 중첩의 원리를 적용할 수 있다. 중첩의 원리는 회로가 서로 다른 주파수의 전원으로 운전된다면 반드시 유념해야 할 중요한 사항이 하나 있다. 이 경우에는 임피던스는 주파수에 의존하기 때문에 각각의 전원 주파수에 따른 서로 다른 주파수 영역 회로를 가져야만 한다. 여기서 전체 응답은 시간 영역에서 각각의 응답을 합한 것과 같다. 페이저 또는 주파수 영역에서 응답을 합하면 결과를 얻을 수 없는 데 그 이유로는 지수함수 인자 e^jmt가 정현파 해석에서 고려되지 않고 모든 각주파수 ω에 따라 변하기 때문이다. 따라서 임의의 회로가 주파수가 서로 다른 전원으로 동작하고 있을 때는 반드시 페이저들을 각각의 주파수에 따른 시간 영역으로 변환한 후 그 응답을 더해야만 한다.

교류회로 중첩의 원리

아래 예제를 통해 살펴볼 것이다. 문제: 중첩의 원리를 이용하여 전류 v0를 구하라

우선 가장 오른쪽의 전압원 5V를 기준으로 볼 것이다. ω=0이므로 다음과 같은 회로가 된다. 이 때 v1은 다음의 식을 갖는다. 그러므로 v1 = -1이다

두번째는 가장 왼쪽의 전압원 10cos2tV를 기준으로 볼 것이다. ω=2이고 다음과 같은 회로가 된다. 주파수 영역으로 변환한 식들은 다음과 같다. 우선 병렬로 연결된 4Ω과 -j5Ω을 임피던스로 나타내면 다음과 같다. 전압 분배에 의해 V2를 구하면 아래와 같이 된다. 이를 시간 영역으로 변환하여 v2를 구할 수 있다.

마지막으로 중간의 전류원 2sin5tA를 기준으로 볼 것이다. ω=5이고 다음과 같은 회로가 된다. 주파수 영역으로 변환한 식들은 다음과 같다. 우선 병렬로 연결된 4Ω과 -j2Ω을 임피던스로 나타내면 다음과 같다. 전류 분배에 의해 I1를 구하면 아래와 같이 된다. 그리고 V3를 구하면 아래와 같이 된다. 이를 시간 영역으로 변환하여 v3를 구할 수 있다.

그리고 중첩의 원리를 통해 3개의 식을 합치게 되면 아래 식과 같이 v0를 구할 수 있다.

10.5 전원 변환

주파수 영역에서의 전원 변환은 임피던스와 직렬로 연결된 전압원을 임피던스와 병렬로 연결된 전류원으로의 변환하거나 그 역으로 변환하는 것을 의미한다.

10.6 테브냉 등가회로와 노턴 등가회로

테브냉 및 노턴의 정리는 직류회로에서 사용한 것처럼 교류회로에도 같은 방법으로 적용할 수 있다. 다만 교류회로에서는 복소수 연산이 부가적으로 필요하다. 밑의 그림은 각각 주파수 영역에서의 테브냉, 노턴 등가회로이다.

두 등가회로는 위 식과 같은 관계를 가진다

테브냉 등가회로

아래 예제를 통해 살펴볼 것이다. 문제: 다음 회로에서 단자 a-b에서의 테브냉 등가회로를 구하라.

Zth는 회로에서 전압원을 0으로 하여 구할 수 있다. 위 그림에서와 같이 8Ω의 저항은 -j6의 리액턴스와 병렬로 연결되어 있으므로 그 임피던스 값은 다음과 같다. 그러므로 v1 = -1이다.

마찬가지로 4Ω의 저항과 j12의 리액턴스가 병렬로 연결되어 있으므로 그 임피던스 값은 다음과 같다.

테브냉 임피던스는 Z1과 Z2의 직렬 연결이다. 즉 그리고 전류 I1, I2는 다음과 같이 구할 수 있다.

루프 bcdeab에 KVL을 적용하면, 또는

예제 10.9

그림의 회로의 단자 a-b에서 본 테브냉 등가회로를 구하라.