[회로이론] Part1_직류회로) Chap7

회로이론

[회로이론] Part1_직류회로) Chap7_일차 회로

전자21 호이 2024. 2. 24. 20:06

7.1 서론

위 장에서는 두 가지 형태의 간단한 회로, 즉 저항과 커패시터로 구성된 회로, 저항과 인덕터로 구성된 회로를 알아볼 것이다. 각각 RC 회로, RL 회로라고 부른다.
저항회로와 동일하게 RC 및 RL 회로의 해석에도 키르히호프의 법칙을 적용한다. 그러나 순수 저항회로에 키르히호프 법칙을 적용하면 대수방정식이 유도되지만, RC 및 RL 회로에 이 법칙을 적용하면 미분방정식이 만들어진다는 것이 차이점이다.

일차 회로는 일차 미분방정식의 특성을 띤다. RC 및 RL 회로의 해석에서 유도되는 미분방정식은 일차이기 때문에 이 회로를 일차 회로라고 부른다.

7.2 무전원 RC 회로

무전원 RC 회로는 직류 전원이 갑자기 끊어질 때 발생한다. 커패시터에 저장된 에너지는 저항으로 방출된다.(커패시터가 저장소자라고 불리는 이유)

RC 회로의 고유응답
우리의 목적은 커패시터 양단의 전압을 v(t)로 가정하고 회로응답을 구하는 것이다. 커패시터가 초기에 충전되어 있어서, 시간이 t = 0일 때 초기 전압은 다음과 같이 가정할 수 있다. 그리고 충전된 에너지의 대응값은 다음과 같이 가정할 수 있다.
무전원 RC 회로의 위쪽 노드에서 KCL을 적용하면 다음과 같은 식을 가질 수 있다. 위 식을 해석하면 또는 다음과 같은 식을 가진다. 이것은 일차 미분방정식이며, v의 일차 도함수를 의미한다.
위 식을 풀면 다음과 같은 식을 가진다. 양변을 적분하면, 여기서 lnA는 적분상수이다. 그러므로 위 식과 같다. 이를 지수함수로 나타내면, 그러나 초기 조건에서 v(0) = A = V0이다. 그러므로
이것은 RC 회로의 전압응답이 초기 전압에 대해 지수함수적으로 감쇄하는 것을 나타낸다. 이 응답은 외부의 어떤 전압원 또는 전류원에 의해서가 아니라 초기에 충전된 에너지와 회로의 물리적 특성에 의해서 결정되므로 회로의 고유응답(natural response, 자연응답)이라 부른다.

회로의 자연응답은 회로 자체의 (전압과 전류) 동작에 따르며, 외부의 전원에 의한 것이 아니다.
t가 증가하면 전압은 0으로 감소한다. 전압 감소의 빠름 정도를 시상수라고 하며, τ로 표시한다.
회로의 시상수는 응답이 초깃값의 1/e 또는 36.8%로 감쇄하는 데 소요되는 시간이다.

t = τ 일 때는 다음과 같은 식이 된다.

또는

t = τ 일 때 위 식이기 때문에

다음과 같이 쓸 수 있다.

위 식을 통해 전류, 소비 전력, 저항이 흡수한 에너지를 구할 수 있다.
전류는 아래 식과 같고

소비 전력은 아래 식과 같고

저항이 흡수한 에너지는 다음과 같다.

무전원 RC 회로를 풀기 위해 구해야 할 두가지★

1. 커패시터 양단의 초기 전압 v(0) = V0

2. 시상수 τ

실전문제 7.2

그림의 회로에서 t=0일 때 스위치를 개방한다면, t >= 0일 때, v(t)와 wc(0)을 구하라.

7.3 무전원 RL 회로

저항과 인덕터의 직렬연결을 생각해보자. 인덕터 전류는 순간적으로 변할 수 없기 때문에 응답으로써 인덕터 전류를 선택한다. t=0일 대 인덕터가 초기 전류 I0를 가지고 있다고 가정한다.(인덕터가 저장소자라고 불리는 이유)

RL 회로의 고유응답
우리의 목적은 회로응답을 구하는 것이고, 이때 인덕터에 흐르는 전류를 i(t)라고 가정한다. t = 0일 때 인덕터가 초기 전류 I0를 가지고 있다고 가정한다. 그리고 충전된 에너지의 대응값은 다음과 같이 가정할 수 있다.
무전원 RL 회로에 KVL을 적용하면 다음과 같은 식을 가질 수 있다. 위 식을 해석하면 또는 다음과 같은 식을 가진다. 이것은 일차 미분방정식이며, i의 일차 도함수를 의미한다.
양변을 적분하면, 또는 위 식과 같다. 이를 지수함수로 나타내면,
이것은 RL 회로의 전압응답이 초기 전류에 대해 지수함수적으로 감쇄하는 것을 나타낸다. 이 응답은 외부의 어떤 전압원 또는 전류원에 의해서가 아니라 초기에 충전된 에너지와 회로의 물리적 특성에 의해서 결정되므로 회로의 고유응답(natural response, 자연응답)이라 부른다.

RL 회로의 시상수는 다음과 같이 된다.

t = τ 일 때 위 식이기 때문에

다음과 같이 쓸 수 있다.

위 식을 통해 전압, 소비 전력, 저항이 흡수한 에너지를 구할 수 있다.
전압는 아래 식과 같고

소비 전력은 아래 식과 같고

저항이 흡수한 에너지는

또는

무전원 RL 회로를 풀기 위해 구해야 할 두가지★

1. 인덕터에 흐르는 초기 전류 i(0) = I0

2. 시상수 τ

예제 7.4

그림의 회로에서 스위치가 장시간 닫혀 있다 t=0일 때 스위치를 개방했다. t>0일 때의 i(t)를 구하라.

7.4 특이함수

과도 해석의 이해를 도와줄 수 있는 몇 가지 수학적인 개념을 먼저 설명할 필요가 있다. 독립 직류 전압이나 전류를 인가했을 때의 일차 회로응답을 구하려면 기본적인 특이함수를 이해해야 한다.
특이함수(or 스위칭함수)는 회로 해석에서 매우 유용하여 휘로의 스위칭 동작에서 일어나는 전환 신호를 매우 근사적으로 표현할 수 있도록 한다. 이는 어떤 회로 현상의 간결한 표현에 도움이 되며, 특히 다음 장의 RC 또는 RL 회로의 계단응답에 도움이 된다.

특이함수는 그 함수가 불연속이거나 그 도함수가 불연속인 함수이다.
위 장에서 알아볼 특이함수는 단위계단함수, 단위임펄스함수, 단위램프함수이다.

단위계단함수 u(t)는 t가 음수일 때 0, t가 양수일 때 1의 값을 갖는다.

단위임펄스함수 δ(t)는 단위계단함수 u(t)의 도함수이며 델타함수라고도 한다.
단위임펄스함수 δ(t)는 t=0 이외에서는 모두 0이며, t=0에서는 정의되지 않는다.

단위임펄스는 인가되거나 결과로 일어나는 충격으로 생각할 수 있다. 이는 단위면적에서 매우 짧은 구간의 펄스로 볼 수 있으며, 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

단위램프함수 r(t)는 단위계단함수 u(t)의 적분이다.
단위램프함수는 t가 음수일 때 0이고, t가 양수일 때 단위 기울기를 갖는다.

세 가지 특이함수(단위임펄스함수, 단위계단함수, 단위램프함수)는 다음과 같은 미분과 적분에 관련이 있다는 것에 유념해야 한다.

7.5 RC 회로의 계단응답

회로의 계단응답은 전원이 계단함수일 대의 회로응답이며, 전원은 전압 또는 전류원이 될 수 있다.

전압이 계단 입력된 RC 회로. 그림(1): 스위치를 사용, 그림(2): 단위계단함수를 사용

RC 회로의 계단응답

커패시터 전압은 순간적으로 변할 수 없다.

v(0-)은 스위칭하기 바로 전 커패시터 양단의 전압, v(0+)은 스위칭 바로 후의 전압이다. KCL을 적용하면

또는

t>0이면 u(t)=1이기 때문에 아래 식으로 쓸 수 있다

이를 정리하면

또는

양변을 적분하고 초기 조건을 도입하면,

또는

지수함수로 나타내면 아래 식으로 쓸 수 있다.

또는

이 식은 커패시터가 초기에 충전될 것으로 가정하면, 직류 전압원의 순간적인 적용에 대한 RC 회로의 완전응답(총응답)으로 알려져 있다.

만약 커패시터가 초기에 충전되지 않았다고 가정하면 V0=0으로 놓는다.

이것을 다시 쓰면

이 식은 커패시터가 초기에 충전되지 않았을 때 RC 회로의 완전응답이다.

커패시터를 흐르는 전류는 i(t) = Cdv/dt를 이용하여 얻을 수 있다.
i(t)의 값은

또는

아래 그림은 커패시터의 전압 v(t)와 전류 i(t)를 보여준다.

RC 또는 RL 회로의 계단응답을 구하는 것은 위와 같이 유도해내기보다는 시스템적 접근 방법으로 실행하는 것이 더 빠르다. v(t)는 2개의 성분으로 구성된다. 두 가지 방법으로 나타낼 수 있는데 하나는 "자연응답과 강제응답"으로 분리하는 것이고, 또 하나는 "과도응답과 정상상태 응답"으로 분리하는 것이다.

자연응답과 강제응답	과도응답과 정상상태 응답
자연응답(자연 에너지) + 강제응답(독립 전원) = 완전응답	과도응답(일시적인 부분) + 정상상태 응답(영구적인 부분) = 완전응답
Vn = 자연응답	Vt = 과도응답
Vf = 강제응답	Vss = 정상상태 응답
완전응답
과도응답은 회로의 일시적인 응답이며, 시간이 지나면 사라질 것이다. 정상상태 응답은 외부 신호가 인가되고 오랜 시간이 경과한 후 회로의 응답이다.